Matematyka, logika i programowanie · Język + przedmiot
Tymur Levitin | LEVITIN SCHOOL
Założyciel i główny ekspert ds. nauczania języków
Uczeń potrafi rozwiązać zadanie.
Wie, jak działa procent.
Rozumie równanie.
Potrafi odczytać wykres.
A potem widzi podobne zadanie po angielsku i mówi:
„Znam tę matematykę, ale nie wiem, o co chodzi w poleceniu.”
To zdanie odsłania problem, którego nie da się sprowadzić ani do matematyki, ani do angielskiego.
Wiedza nie zniknęła.
Uczeń nadal zna pojęcie.
Zmieniła się jednak droga dostępu do tego pojęcia.
I właśnie dlatego nauka przedmiotu w innym języku jest czymś więcej niż zapamiętywaniem terminologii.
Nie chodzi tylko o to, aby wiedzieć, że equation oznacza równanie, a fraction — ułamek.
Prawdziwe pytanie brzmi:
czy uczeń potrafi rozpoznać, uruchomić i wykorzystać swoją wiedzę matematyczną wtedy, gdy językiem pracy staje się angielski?
To jest sedno podejścia Language + Subject — Język + przedmiot.
Znać matematykę to jeszcze nie znaczy umieć pracować z nią w każdym języku
Wyobraźmy sobie ucznia, który bez problemu rozwiązuje zadanie:
Oblicz 20% z 350.
Mechanizm jest znajomy.
Teraz pojawia się inne polecenie:
A product originally costs $350. Its price is reduced by 20%. Calculate the new price.
Matematyka nadal opiera się na procentach.
Ale zadanie wymaga już kilku dodatkowych operacji poznawczych.
Uczeń musi zrozumieć, że:
originally costs wskazuje wartość początkową;
reduced by 20% oznacza zmniejszenie o 20%, a nie do 20%;
new price jest wielkością, którą należy obliczyć.
Jeżeli wynik będzie błędny, nie możemy od razu stwierdzić:
„Uczeń nie rozumie procentów.”
Być może procenty rozumie doskonale.
Problem mógł powstać wcześniej — podczas przekształcania języka w strukturę matematyczną.
Między tekstem a obliczeniem istnieje etap, którego często nie zauważamy
W prostych ćwiczeniach szkolnych droga do rozwiązania wydaje się bezpośrednia:
zadanie → obliczenie → odpowiedź.
W rzeczywistości często wygląda inaczej:
tekst → interpretacja → model matematyczny → wybór metody → obliczenie → interpretacja wyniku.
Jeżeli zadanie pojawia się w drugim języku, dochodzi jeszcze jedna warstwa.
Uczeń musi najpierw przejść od języka obcego do znaczenia, które można matematycznie przetworzyć.
Dlatego trudność nie zawsze znajduje się tam, gdzie pojawia się błąd.
Błąd w obliczeniu może rozpocząć się od błędnie odczytanego zdania.
Błąd w modelu może wynikać z jednego przyimka.
Brak odpowiedzi może oznaczać nie brak wiedzy, lecz brak szybkiego dostępu do niej.
Matematyka nie jest wolna od języka
Symbole matematyczne są niezwykle przenośne.
Równanie
4x + 8 = 28
nie zmienia swojej struktury, gdy uczeń przenosi się z polskiej szkoły do anglojęzycznej.
Ale edukacja matematyczna nie składa się wyłącznie z równań.
Uczeń musi rozumieć polecenia:
solve
simplify
substitute
factor
estimate
compare
prove
derive
round to
express in terms of
justify your answer
Musi również rozpoznawać relacje:
greater than
less than
proportional to
divisible by
equivalent to
increases at a constant rate
Sama znajomość matematyki nie gwarantuje jeszcze automatycznego rozpoznania tych relacji w innym języku.
Ale znajomość angielskiego również nie wystarcza
Możliwa jest sytuacja odwrotna.
Uczeń swobodnie rozmawia po angielsku.
Ogląda filmy bez napisów.
Podróżuje.
Rozmawia z rówieśnikami.
Pisze wiadomości.
A jednak podczas lekcji matematyki po angielsku nagle traci pewność siebie.
Nie ma w tym sprzeczności.
Język codzienny i język akademicki nie wykonują tych samych zadań.
Można bez problemu powiedzieć:
I went out with my friends yesterday.
i jednocześnie mieć trudność z natychmiastową interpretacją:
Determine whether the two quantities are directly proportional.
Problemem nie musi być gramatyka jako taka.
Trudność polega na tym, że określona konstrukcja językowa musi uruchomić konkretne rozumowanie przedmiotowe.
Polecenie jest częścią zadania matematycznego
To szczególnie ważne.
Czasami traktujemy język polecenia jak opakowanie, które otacza „prawdziwą” matematykę.
Ale w wielu zadaniach właśnie sposób sformułowania określa, jaką matematykę należy zastosować.
Porównajmy:
increase by 15%
oraz
increase to 15%.
Pierwsze oznacza wzrost o 15%.
Drugie wskazuje wartość docelową 15%.
Albo:
at least 10
i
at most 10.
W pierwszym przypadku:
x ≥ 10
w drugim:
x ≤ 10.
Dwa krótkie wyrażenia językowe prowadzą do dwóch przeciwnych nierówności.
W takich sytuacjach język nie jest dodatkiem do matematyki.
Język uczestniczy w budowaniu modelu matematycznego.
Jeden błąd może mieć kilka różnych źródeł
Załóżmy, że uczeń błędnie rozwiązał zadanie tekstowe.
Co dokładnie powinniśmy sprawdzić?
Czy rozumie słownictwo?
Czy rozumie konstrukcję zdania?
Czy rozpoznaje pojęcie matematyczne?
Czy zna procedurę?
Czy potrafi wybrać odpowiednią procedurę bez podpowiedzi?
Czy rozumie wynik?
Czy potrafi go wyjaśnić?
To nie są pytania o to samo.
Uczeń może znać procedurę, ale nie rozpoznać sytuacji, w której należy jej użyć.
Może rozpoznać sytuację, ale błędnie zinterpretować jedno słowo.
Może wykonać całe zadanie poprawnie, ale nie umieć wyjaśnić swojego rozumowania po angielsku.
Dlatego etykieta:
„słaby z matematyki”
albo
„słaby z angielskiego”
często mówi za mało.
Potrzebna jest diagnoza mechanizmu.
Cztery poziomy, które warto rozdzielić
Podczas pracy z matematyką w drugim języku można wyróżnić co najmniej cztery poziomy.
1. Rozumienie językowe
Czy uczeń rozumie, co mówi polecenie?
2. Rozumienie pojęciowe
Czy wie, jaka idea matematyczna znajduje się za tym poleceniem?
3. Wiedza proceduralna
Czy potrafi wykonać potrzebne działania?
4. Rozpoznanie strategiczne
Czy sam potrafi ustalić, jakiej metody należy użyć i dlaczego?
Ostatni poziom jest szczególnie istotny.
Uczeń może bezbłędnie rozwiązywać równania, gdy nagłówek ćwiczenia brzmi:
Solve the equations.
Ale czy rozpozna konieczność zbudowania równania w zadaniu tekstowym, w którym słowo equation w ogóle się nie pojawia?
To już inny poziom wiedzy.
Tłumaczenie jest narzędziem, nie celem
Tłumaczenie może być bardzo skuteczne.
Nie ma powodu, aby z niego rezygnować wtedy, gdy pomaga zrozumieć trudną konstrukcję lub nowe pojęcie.
Ale warto obserwować, jak zmienia się droga poznawcza ucznia.
Na początku może wyglądać tak:
English → polski → matematyka → rozwiązanie
Uczeń czyta zdanie po angielsku.
Tłumaczy je.
Dopiero wtedy rozpoznaje matematykę.
Z czasem powinien jednak rozwijać się również drugi szlak:
English → znaczenie matematyczne → rozwiązanie
Uczeń widzi:
x is inversely proportional to y
i relacja matematyczna zaczyna być dostępna bez konieczności budowania pełnego polskiego zdania pośredniego.
Nie oznacza to, że język polski staje się niepotrzebny.
Oznacza coś odwrotnego:
uczeń zyskuje dodatkową drogę do tej samej wiedzy.
To właśnie odróżnia terminologię od dostępu do wiedzy
Można nauczyć się:
fraction — ułamek
equation — równanie
slope — nachylenie
denominator — mianownik
numerator — licznik
i nadal nie potrafić uczyć się matematyki po angielsku.
Znajomość terminów jest punktem wejścia.
Dostęp do wiedzy oznacza znacznie więcej.
Uczeń potrafi:
przeczytać problem;
rozpoznać strukturę;
zadać pytanie;
zrozumieć wyjaśnienie;
wykonać operację;
porównać metody;
uzasadnić wynik;
wykryć błąd;
wyjaśnić własne rozumowanie.
Dopiero wtedy język zaczyna funkcjonować jako rzeczywiste środowisko pracy intelektualnej.
Matematyka daje językowi prawdziwy powód do działania
W typowym ćwiczeniu językowym uczeń może otrzymać polecenie:
Use the word “increase” in a sentence.
Tworzy więc zdanie, ponieważ wymaga tego ćwiczenie.
W matematyce sytuacja jest inna.
Uczeń patrzy na wykres i mówi:
As x increases, y decreases.
Słowo increases nie pojawia się dlatego, że trzeba je przećwiczyć.
Pojawia się, ponieważ opisuje rzeczywistą zależność.
To zasadnicza różnica.
Język przestaje być wyłącznie przedmiotem obserwacji.
Zaczyna wykonywać pracę.
Przenosi znaczenie.
A matematyka wymusza precyzję języka
Język codzienny często toleruje niedokładność.
Rozmówca może domyślić się intencji.
Matematyka bywa mniej wyrozumiała.
Jeśli uczeń pomyli:
greater than
z
greater by,
może zbudować niewłaściwą relację.
Jeśli nie rozróżni:
at least
i
at most,
odwróci zakres wartości.
Jeśli pomyli:
increase by
z
increase to,
wykona inne obliczenie.
Dzięki temu matematyka pokazuje bardzo wyraźnie, że małe elementy języka mogą mieć duże konsekwencje dla znaczenia.
Dla nauki angielskiego jest to cenna lekcja:
precyzja językowa nie jest kwestią estetyki. Czasami decyduje o poprawności rozumowania.
Czy uczeń naprawdę rozumie, czy tylko rozpoznaje schemat?
Drugi język może pełnić jeszcze jedną interesującą funkcję.
Może stać się narzędziem diagnostycznym.
Załóżmy, że uczeń rozwiązał dziesiątki zadań tego samego typu.
Widząc znajomy układ, natychmiast rozpoczyna odpowiedni algorytm.
Następnie otrzymuje problem oparty na tej samej idei matematycznej, ale opisany inaczej — dodatkowo po angielsku.
Nagle nie wie, co zrobić.
Czy zapomniał matematyki?
Niekoniecznie.
Być może wcześniejszy sukces zależał w dużej mierze od rozpoznawania formatu ćwiczenia, a nie od elastycznego rozumienia pojęcia.
Zmiana języka usuwa część znajomych sygnałów.
I wtedy widzimy, co pozostaje.
Wyjaśnianie może ujawnić więcej niż sam wynik
Uczeń otrzymuje poprawną odpowiedź.
To dobrze.
Ale zapytajmy:
Why?
Dlaczego ta metoda działa?
Dlaczego ten wykres jest liniowy?
Dlaczego możemy zastosować tę zależność?
Dlaczego wynik powinien być większy od wartości początkowej?
Teraz uczeń musi wyjść poza wykonanie procedury.
Jeżeli odpowiada:
The relationship is linear because the rate of change is constant,
łączy ze sobą co najmniej trzy elementy:
obserwację;
pojęcie;
uzasadnienie.
A jeśli robi to po angielsku, dochodzi czwarty:
językowy dostęp do całej struktury rozumowania.
Dlatego mówienie o matematyce może pogłębiać matematykę.
Language + Subject nie może oznaczać uproszczenia przedmiotu
Istnieje pokusa, aby podczas nauki matematyki po angielsku nadmiernie uprościć matematykę.
Wtedy uczeń poznaje kilka terminów i rozwiązuje bardzo łatwe przykłady.
Język jest obecny.
Przedmiot formalnie również.
Ale intelektualna praca znika.
To nie jest cel.
W zintegrowanym uczeniu matematyka nadal powinna wymagać:
analizy;
rozwiązywania problemów;
porównywania;
modelowania;
formułowania hipotez;
interpretacji wykresów;
sprawdzania;
uzasadniania;
wykrywania błędów.
Angielski nie powinien zastępować tej pracy.
Powinien stawać się jednym z narzędzi, dzięki którym można ją wykonywać.
Sam angielski również nie powinien zniknąć
Możliwa jest jednak odwrotna skrajność.
Nauczyciel prowadzi zwykłą lekcję matematyki po angielsku i zakłada, że sam fakt używania języka wystarczy.
Nie wystarczy.
Jeżeli uczeń nie rozumie kluczowej konstrukcji językowej, jego wiedza matematyczna może stać się chwilowo niedostępna.
Dlatego nauczyciel musi rozpoznawać różnicę między pytaniami:
Czy uczeń nie rozumie matematyki?
a:
Czy uczeń nie rozumie sposobu, w jaki matematyka została wyrażona?
To rozróżnienie jest jednym z fundamentów dobrej pracy Language + Subject.
Jeden wykres może połączyć kilka sposobów myślenia
Spójrzmy na przykład funkcji liniowej.
Uczeń widzi wykres.
Może zauważyć, że wraz ze wzrostem x wartość y rośnie w stałym tempie.
Teraz opisuje to po angielsku:
Every time x increases by one, y increases by three.
Następnie:
The rate of change is constant.
I wreszcie:
Therefore, the relationship is linear.
W jednej krótkiej sekwencji uczeń przechodzi przez:
obraz;
liczbę;
relację;
język;
pojęcie;
wniosek.
Możemy następnie odwrócić zadanie.
Nauczyciel mówi:
For every two-unit increase in x, y decreases by four.
Uczeń ma zbudować odpowiedni model lub wykres.
Teraz język nie opisuje już gotowej matematyki.
Język staje się wejściem do matematyki.
Wiedza powinna działać po zmianie reprezentacji
To prowadzi do szerszej zasady.
Jeżeli uczeń naprawdę rozumie pojęcie, chcemy, aby potrafił rozpoznać je nie tylko w jednym typie ćwiczenia.
Powinien spotkać tę samą ideę:
w równaniu;
na wykresie;
w tabeli;
w opisie słownym;
w sytuacji praktycznej;
w nowym problemie;
a z czasem również — w innym języku.
Każda taka zmiana sprawdza, czy wiedza jest związana wyłącznie z jednym formatem, czy stała się bardziej elastyczna.
Reality, Instruction, Assessment — trzy różne obrazy tej samej wiedzy
W edukacji warto rozróżniać trzy poziomy.
Reality — rzeczywista zdolność
Co uczeń potrafi zrobić, gdy sytuacja przestaje przypominać ćwiczenie z lekcji?
Instruction — to, czego uczono
Jakie pojęcia, procedury i strategie zostały wyjaśnione i przećwiczone?
Assessment — to, co zostało sprawdzone
Co konkretne zadanie, test lub egzamin rzeczywiście zmierzył?
Te trzy rzeczy nie zawsze są identyczne.
Uczeń może osiągać świetne wyniki w serii przewidywalnych ćwiczeń.
Ale zmiana formy zadania, kontekstu albo języka może ujawnić, że wiedza była mocno przywiązana do znanego schematu.
Dlatego celem nie powinno być wyłącznie poprawne wykonanie znanych zadań.
Celem jest przenoszenie wiedzy.
Trzy warstwy edukacji
W Levitin Language School rozróżniamy trzy połączone kierunki edukacyjne.
Języki
Angielski, niemiecki, hiszpański, francuski, polski, ukraiński i inne języki.
Przedmioty szkolne i akademickie
Matematyka, fizyka, chemia, biologia, programowanie, ekonomia i inne dziedziny.
Język + przedmiot
Uczenie się rozumienia, wykorzystywania i rozwijania wiedzy przedmiotowej poprzez inny język.
Trzecia warstwa nie jest po prostu sumą dwóch pierwszych.
Nie wystarczy połączyć godzinę angielskiego z godziną matematyki.
Powstaje osobne zadanie:
jak sprawić, aby wiedza przedmiotowa stała się dostępna w nowym środowisku językowym, nie tracąc swojej głębi?
Czy można więc uczyć się matematyki i angielskiego jednocześnie?
Tak — pod warunkiem, że oba elementy pozostają prawdziwe.
Matematyka nie może zostać zredukowana do listy angielskich terminów.
Angielski nie może zostać potraktowany tak, jakby jego rola ograniczała się do zmiany języka instrukcji.
Uczeń powinien rzeczywiście myśleć matematycznie.
I jednocześnie stopniowo rozwijać zdolność do wykonywania tej pracy po angielsku.
Wtedy nie uczymy dwóch przypadkowo zestawionych przedmiotów.
Budujemy coś innego:
drugi dostęp do wiedzy.
Gdy zmienia się język, wiedza nie powinna zaczynać się od zera
To chyba najważniejszy punkt.
Uczeń, który zna funkcje po polsku, nie powinien „uczyć się funkcji od początku” tylko dlatego, że podręcznik jest po angielsku.
Powinien stopniowo nauczyć się rozpoznawać tę samą strukturę w nowym języku.
To samo dotyczy procentów.
Geometrii.
Statystyki.
Fizyki.
Programowania.
Biologii.
I wielu innych dziedzin.
Zmiana języka może początkowo spowolnić dostęp do wiedzy.
Ale dobrze zaprojektowana nauka może sprawić, że z czasem powstanie nowa droga:
język → pojęcie → działanie → wyjaśnienie.
A kiedy ta droga zaczyna działać, uczeń zyskuje coś większego niż dodatkowe słownictwo.
Zyskuje możliwość korzystania z własnego intelektualnego świata w kolejnym języku.
I właśnie na tym polega prawdziwa wartość Język + przedmiot.
Gdzie kontynuować
Jeżeli głównym celem jest sama matematyka, osobny materiał obejmuje naukę matematyki online dla szkoły, studiów i edukacji międzynarodowej:
https://languagethinkinglab.blogspot.com/p/online-mathematics-tutoring-for-school.html
Szerszy model uczenia się języków poprzez przedmioty szkolne i akademickie:
https://timurlevitin.blogspot.com/p/learn-languages-through-school-subjects.html
Dla osób łączących angielski z matematyką i naukami ścisłymi:
https://timurlevitin.blogspot.com/p/learn-english-through-math-and-science.html
Samodzielna angielska publikacja tego klastra:
Samodzielna wersja niemiecka:
Samodzielna wersja ukraińska:
Samodzielna wersja rosyjska:
Nauka w Levitin Language School
Levitin Language School pracuje z indywidualnymi potrzebami edukacyjnymi w trzech powiązanych obszarach:
Języki · Przedmioty szkolne i akademickie · Język + przedmiot
Jedna osoba potrzebuje angielskiego.
Inna — matematyki.
Jeszcze inna — matematyki po angielsku.
Uczeń może przygotowywać się do nauki w innym systemie edukacyjnym.
Student może potrzebować dostępu do anglojęzycznych materiałów akademickich.
Specjalista może znać swój przedmiot, ale potrzebować języka do pracy z nim w środowisku międzynarodowym.
To potrzeby powiązane, lecz nie identyczne.
Dlatego punktem wyjścia nie powinien być gotowy pakiet zajęć, lecz diagnoza rzeczywistego zadania edukacyjnego.
Levitin Language School — międzynarodowa szkoła i ekosystem edukacyjny
https://levitintymur.com
Language Learnings — kierunek amerykański
https://languagelearnings.com
Projekty edukacyjne i interdyscyplinarne Tymura Levitina
https://timurlevitin.blogspot.com
Kontakt z Levitin Language School
WhatsApp / Viber: +380932913429
Telegram: @START_SCHOOL_TYMUR_LEVITIN
E-mail: notification@levitintymur.com
Tymur Levitin
Założyciel i dyrektor Levitin Language School
Języki · Przedmioty szkolne i akademickie · Język + przedmiot
© Tymur Levitin. Wszelkie prawa zastrzeżone.
