Matemáticas, lógica y programación · Idioma + asignatura
Tymur Levitin | LEVITIN SCHOOL
Fundador y experto principal en enseñanza de idiomas
Un estudiante mira un ejercicio de matemáticas en inglés y dice:
«Sé hacer esto. El problema es que no entiendo qué me están pidiendo».
La frase parece sencilla, pero contiene una distinción educativa fundamental.
El estudiante puede conocer las matemáticas.
Puede conocer también bastante inglés.
Y, aun así, puede no ser capaz de acceder con rapidez a su conocimiento matemático a través del inglés.
Porque saber una materia y poder trabajar con esa materia en otra lengua no son exactamente la misma competencia.
Cuando cambia el idioma, las matemáticas no cambian.
Pero sí puede cambiar el camino que lleva hasta ellas.
Ahí comienza el verdadero espacio de Language + Subject — Idioma + asignatura.
No consiste simplemente en aprender vocabulario matemático en inglés.
Tampoco consiste en impartir una clase normal de matemáticas sustituyendo el español por el inglés.
La tarea es más profunda:
construir una conexión funcional entre una nueva lengua y un conocimiento que el estudiante debe comprender, utilizar, explicar y ampliar.
Saber matemáticas no garantiza reconocerlas en cualquier formulación
Pensemos en un estudiante que sabe trabajar con porcentajes.
Si ve:
20% de 500
probablemente sabe qué hacer.
Ahora encuentra:
A population increased by 20% over five years.
La operación matemática sigue relacionada con porcentajes.
Pero antes de calcular algo, el estudiante debe interpretar una relación expresada lingüísticamente.
¿Qué significa increased by 20%?
¿Cuál es el valor inicial?
¿Se busca el aumento o el valor final?
¿Sobre qué cantidad se calcula ese porcentaje?
Las matemáticas empiezan antes del cálculo.
Empiezan en la interpretación.
Por eso una respuesta incorrecta no demuestra automáticamente que el estudiante no entienda los porcentajes.
Tal vez el problema surgió antes de llegar a ellos.
Entre una frase y una fórmula ocurre mucho más de lo que parece
Cuando un estudiante experimentado lee un problema matemático, muchos procesos se producen casi automáticamente.
Lee.
Selecciona la información importante.
Descarta información secundaria.
Reconoce relaciones.
Construye una representación.
Elige una estrategia.
Calcula.
Comprueba si el resultado tiene sentido.
Por eso podemos representar el proceso de una forma más realista:
texto → significado → modelo matemático → estrategia → procedimiento → resultado → interpretación
Cuando el texto está escrito en una segunda lengua, el estudiante debe realizar además otra operación:
convertir una estructura lingüística menos automatizada en significado matemático.
Ahí puede aparecer una dificultad incluso cuando el concepto matemático ya es conocido.
Las matemáticas tienen símbolos universales, pero las clases de matemáticas no
Una expresión como
2x + 7 = 19
no depende del español ni del inglés.
Pero una clase real contiene mucho más que símbolos.
Un estudiante debe comprender instrucciones como:
solve
simplify
factor
substitute
estimate
compare
prove
derive
express in terms of
round to the nearest
justify your answer
También debe interpretar relaciones como:
greater than
less than
proportional to
divisible by
equivalent to
increases at a constant rate
Aprender estas expresiones es necesario.
Pero memorizarlas no basta.
El objetivo no es poder traducir proportional to.
El objetivo es que, al encontrar esa expresión, el estudiante active inmediatamente el concepto matemático correspondiente.
Conocer inglés tampoco resuelve automáticamente el problema
Ahora imaginemos el caso contrario.
Una persona conversa en inglés con bastante soltura.
Ve series.
Viaja.
Participa en reuniones.
Lee noticias.
Puede mantener una conversación cotidiana sin demasiada dificultad.
¿Significa eso que puede estudiar matemáticas en inglés?
No necesariamente.
Una conversación cotidiana y un problema académico exigen operaciones diferentes.
Comparemos:
What did you do last weekend?
con:
Determine whether the rate of change remains constant throughout the interval.
En el segundo caso no basta con conocer las palabras.
Hay que reconstruir una relación conceptual.
El lenguaje académico no es simplemente un vocabulario más difícil.
Es lenguaje utilizado para organizar conocimiento especializado.
El error visible puede comenzar mucho antes
Supongamos que un estudiante obtiene una respuesta incorrecta.
Podríamos pensar:
«No entiende la matemática».
Pero hay muchas posibilidades.
Quizá no entendió una palabra.
Quizá interpretó mal una preposición.
Quizá comprendió perfectamente el inglés, pero no reconoció el concepto matemático.
Quizá reconoció el concepto, pero eligió un procedimiento incorrecto.
Quizá realizó bien todos los cálculos, pero interpretó mal lo que debía responder.
O quizá puede obtener la solución, pero no explicar por qué funciona.
Una sola respuesta incorrecta puede ocultar varios problemas educativos completamente distintos.
Por eso enseñar una asignatura a través de otra lengua exige una pregunta constante:
¿en qué punto exacto se rompió el proceso?
Cuatro niveles que no debemos confundir
Podemos separar al menos cuatro niveles.
1. Comprensión lingüística
¿El estudiante entiende la formulación?
2. Comprensión conceptual
¿Entiende la idea matemática que aparece detrás de esa formulación?
3. Conocimiento procedimental
¿Sabe ejecutar las operaciones necesarias?
4. Reconocimiento estratégico
¿Sabe decidir qué procedimiento debe utilizar en esta situación?
Este último nivel es especialmente importante.
Un estudiante puede resolver veinte ecuaciones correctamente cuando el encabezado dice:
Solve the following equations.
Pero ¿qué ocurre cuando debe construir por sí mismo una ecuación a partir de una situación real?
Ya no basta con saber resolverla.
Primero debe reconocer que necesita una ecuación.
Y si la situación está descrita en inglés, ese reconocimiento debe atravesar también otra lengua.
Traducir puede ayudar mucho, pero no es el destino final
No existe ninguna razón pedagógica para prohibir la traducción.
Puede ser una herramienta excelente.
Una explicación breve en la lengua más fuerte del estudiante puede aclarar en segundos algo que, de otro modo, produciría una confusión innecesaria.
El problema aparece cuando la traducción se convierte en el único camino posible.
Al principio, el proceso puede ser:
English → español → matemáticas → respuesta
El estudiante lee.
Traduce.
Comprende.
Resuelve.
Con el tiempo debería desarrollarse también otro recorrido:
English → significado matemático → respuesta
Por ejemplo, al leer:
y is directly proportional to x
el estudiante empieza a activar la relación matemática sin necesidad de construir primero una traducción completa al español.
No está perdiendo su primera lengua.
Está ganando una segunda entrada al mismo conocimiento.
Una lengua se vuelve realmente útil cuando deja de ser el centro de la actividad
Este punto puede parecer paradójico.
Uno de los momentos más importantes en el aprendizaje de una lengua ocurre cuando dejamos de hablar constantemente sobre la lengua y empezamos a utilizarla para hacer otra cosa.
En una clase tradicional, el profesor puede decir:
Use “increase” in a sentence.
El estudiante produce una frase para demostrar que conoce la palabra.
En matemáticas ocurre algo diferente.
El estudiante observa un gráfico y dice:
As x increases, y decreases.
Ahora increase no está ahí porque sea la palabra del día.
Está ahí porque es necesaria para describir una relación.
El idioma ha dejado de ser únicamente contenido.
Se ha convertido en una herramienta.
Las matemáticas muestran que una palabra pequeña puede tener consecuencias grandes
Comparemos:
increase by 20
y
increase to 20.
En español:
aumentar en 20
no significa lo mismo que
aumentar hasta 20.
La diferencia parece pequeña.
Matemáticamente puede cambiar toda la operación.
Lo mismo ocurre con:
at least — como mínimo;
at most — como máximo;
greater than — mayor que;
greater by — mayor en una determinada cantidad.
Una partícula lingüística puede cambiar una desigualdad, una relación o un cálculo.
Esto convierte a las matemáticas en un entorno especialmente interesante para aprender una lengua con precisión.
Aquí la precisión no es ornamental.
Tiene consecuencias sobre el razonamiento.
Pero aprender términos matemáticos no equivale a estudiar matemáticas en inglés
Un estudiante puede memorizar:
fraction — fracción
equation — ecuación
numerator — numerador
denominator — denominador
slope — pendiente
y seguir sin poder trabajar con matemáticas en inglés.
¿Por qué?
Porque una lista de equivalencias léxicas no desarrolla automáticamente la capacidad de:
leer un problema;
reconocer su estructura;
hacer una pregunta;
seguir una explicación;
comparar dos métodos;
detectar un error;
justificar una conclusión;
explicar un procedimiento.
El vocabulario es necesario.
Pero es infraestructura, no el edificio completo.
La asignatura tampoco puede convertirse en decoración
Existe otra forma de perder el equilibrio.
Una supuesta clase de matemáticas en inglés puede terminar siendo una clase de vocabulario con números.
Se aprenden:
addition
subtraction
multiplication
division
y se realizan ejercicios extremadamente sencillos solo para utilizar esas palabras.
Eso puede tener utilidad lingüística.
Pero no representa todavía una integración profunda entre idioma y asignatura.
Las matemáticas deben conservar su propia exigencia intelectual.
El estudiante tiene que:
resolver problemas;
formular hipótesis;
analizar patrones;
interpretar gráficos;
construir modelos;
comparar estrategias;
detectar errores;
justificar resultados.
El inglés no debe sustituir el pensamiento matemático.
Debe permitir que ese pensamiento ocurra también en inglés.
Explicar una solución puede revelar si realmente existe comprensión
Un estudiante puede llegar a una respuesta correcta por diferentes caminos.
Puede comprender.
Puede recordar una fórmula.
Puede reconocer un patrón superficial.
Puede incluso repetir mecánicamente un procedimiento.
Por eso resulta útil preguntar:
Why does this work?
Imaginemos una función lineal.
El estudiante dice:
The relationship is linear because the rate of change is constant.
Para producir esa explicación de manera significativa debe conectar:
una representación;
un concepto;
una propiedad;
una relación causal;
y una estructura lingüística.
El idioma obliga a hacer visible una parte del razonamiento que podría permanecer oculta detrás de un resultado numérico correcto.
Por eso hablar sobre matemáticas puede servir también para diagnosticar las matemáticas.
A veces el inglés no crea el problema: lo descubre
Esto merece especial atención.
Un estudiante resuelve correctamente un tipo de ejercicio durante semanas.
Después encuentra la misma idea matemática en una formulación diferente y en inglés.
Se bloquea.
Podemos pensar que el inglés ha creado la dificultad.
Pero quizá el cambio de idioma simplemente eliminó algunas pistas familiares.
El estudiante no reconocía realmente el concepto.
Reconocía el formato del ejercicio.
Cuando cambia el formato, desaparece la señal que activaba el procedimiento aprendido.
La segunda lengua puede entonces funcionar como una especie de prueba de transferencia:
¿el conocimiento está ligado a una plantilla o puede sobrevivir a un cambio de contexto?
El verdadero conocimiento necesita moverse entre representaciones
Tomemos una función lineal.
Podemos encontrarla como:
una ecuación;
un gráfico;
una tabla;
una descripción verbal;
una situación práctica.
Por ejemplo:
y = 3x + 1
Pero comprender esa función no debería significar únicamente saber operar con la fórmula.
El estudiante debería poder mirar un gráfico y decir:
For every one-unit increase in x, y increases by three units.
También debería poder escuchar una descripción y construir el modelo correspondiente.
Así aparece una red:
símbolos ↔ gráfico ↔ lenguaje ↔ concepto ↔ situación
Cuantas más conexiones funcionales existen, menos depende el conocimiento de una sola forma de presentación.
Añadir otra lengua amplía todavía más esa red.
El objetivo no es duplicar el conocimiento
Cuando un estudiante que ya conoce geometría empieza a estudiar geometría en inglés, no debería construir una segunda geometría independiente dentro de su cabeza.
El triángulo no cambia.
El teorema no cambia.
La relación matemática no cambia.
Lo que debe ampliarse es el sistema de acceso.
Antes podía llegar al concepto desde una formulación en español.
Ahora aprende a llegar también desde una formulación en inglés.
Eso significa que el aprendizaje integrado no busca necesariamente duplicar contenido.
Busca multiplicar las vías de acceso al contenido.
Esto es especialmente relevante en trayectorias educativas internacionales
Un alumno puede estudiar matemáticas inicialmente en español.
Después trasladarse a un sistema educativo anglófono.
Otro puede cursar una carrera en su lengua materna, pero utilizar manuales y artículos científicos en inglés.
Un profesional puede dominar los cálculos necesarios para su trabajo y, sin embargo, necesitar explicarlos a colegas internacionales.
En todos estos casos aparece la misma pregunta:
¿puede el conocimiento seguir funcionando cuando cambia la lengua de trabajo?
Esta cuestión va mucho más allá del vocabulario.
Tiene que ver con movilidad educativa, acceso académico y capacidad profesional.
Tres capas educativas que deben distinguirse
En Levitin Language School trabajamos con tres direcciones educativas relacionadas.
Idiomas
Inglés, alemán, español, francés, polaco, ucraniano y otros idiomas.
Asignaturas escolares y académicas
Matemáticas, física, química, biología, programación, economía y otras disciplinas.
Idioma + asignatura
Aprender a comprender, desarrollar y utilizar conocimiento especializado a través de otra lengua.
La tercera capa no es simplemente la suma de las dos anteriores.
No basta con colocar una clase de inglés junto a una clase de matemáticas.
Surge una tarea educativa diferente:
hacer que el conocimiento especializado sea operativo dentro de otro entorno lingüístico.
Reality, Instruction y Assessment: tres preguntas diferentes
También conviene distinguir tres niveles del conocimiento.
Reality — lo que realmente puede hacer el estudiante
¿Qué ocurre cuando desaparece el formato conocido?
¿Puede utilizar el concepto en una situación nueva?
Instruction — lo que se ha enseñado
¿Qué conceptos, procedimientos y estrategias se han explicado y practicado?
Assessment — lo que se ha evaluado
¿Qué ha conseguido medir realmente una prueba o un ejercicio?
Estas tres dimensiones pueden producir imágenes diferentes del mismo estudiante.
Alguien puede obtener excelentes resultados en ejercicios muy previsibles y, sin embargo, tener dificultades cuando cambia el contexto.
Cambiar la representación o la lengua ayuda a comprobar si el conocimiento es verdaderamente transferible.
Un ejemplo práctico: del gráfico al inglés y del inglés al gráfico
Imaginemos un gráfico en el que y aumenta cuatro unidades cada vez que x aumenta dos.
El estudiante observa la relación y dice:
When x increases by two units, y increases by four.
Después puede simplificar la relación:
For every one-unit increase in x, y increases by two.
Y concluir:
The rate of change is constant.
Ahora hagamos el recorrido inverso.
El profesor dice:
Every time x increases by three, y decreases by six.
El estudiante debe imaginar o construir la representación.
En el primer caso:
matemáticas → lenguaje
En el segundo:
lenguaje → matemáticas
Cuando ambos recorridos funcionan, la lengua y el conocimiento empiezan a formar una red más flexible.
Entonces, ¿se pueden aprender matemáticas e inglés al mismo tiempo?
Sí.
Pero la integración auténtica exige conservar la integridad de ambos.
Si las matemáticas se reducen a ejercicios triviales para practicar palabras inglesas, estamos principalmente ante una clase de inglés.
Si el inglés se utiliza sin atender a las dificultades lingüísticas reales del estudiante, estamos ante una clase de matemáticas cuya puerta de entrada puede permanecer parcialmente cerrada.
El trabajo Idioma + asignatura se encuentra entre ambos extremos.
El estudiante necesita matemáticas reales.
Y necesita desarrollar el lenguaje necesario para acceder a esas matemáticas, trabajar con ellas y explicarlas.
La meta final es que el conocimiento no dependa de una sola lengua
Aprender matemáticas en inglés no significa abandonar las matemáticas aprendidas en español.
Significa ampliar su disponibilidad.
Un concepto que antes podía ser reconocido, utilizado y explicado en un entorno lingüístico empieza a funcionar también en otro.
El estudiante no recibe simplemente nuevas palabras.
Obtiene nuevas rutas.
Puede leer.
Interpretar.
Modelar.
Calcular.
Preguntar.
Explicar.
Argumentar.
Y conectar una formulación nueva con un conocimiento que ya posee.
Ese es el cambio verdaderamente importante.
No se trata solo de saber matemáticas y saber inglés.
Se trata de conseguir que ambos sistemas puedan trabajar juntos cuando el pensamiento lo necesita.
Dónde continuar
Para estudiantes cuyo objetivo principal es desarrollar las matemáticas, este recurso aborda la tutoría de matemáticas online para la escuela, la universidad y la educación internacional:
https://languagethinkinglab.blogspot.com/p/online-mathematics-tutoring-for-school.html
Para explorar el modelo más amplio de aprendizaje de idiomas mediante asignaturas escolares y académicas:
https://timurlevitin.blogspot.com/p/learn-languages-through-school-subjects.html
Para quienes combinan específicamente inglés, matemáticas y ciencias:
https://timurlevitin.blogspot.com/p/learn-english-through-math-and-science.html
Publicación independiente en inglés de este clúster:
Versión independiente en alemán:
Versión independiente en ucraniano:
Versión independiente en ruso:
Versión independiente en polaco:
Aprender con Levitin Language School
Levitin Language School trabaja con necesidades educativas individuales dentro de tres áreas conectadas:
Idiomas · Asignaturas escolares y académicas · Idioma + asignatura
Un estudiante puede necesitar inglés.
Otro, matemáticas.
Otro, matemáticas en inglés.
Alguien puede estar preparándose para incorporarse a otro sistema educativo.
Un universitario puede necesitar trabajar con materiales académicos en inglés.
Un profesional puede dominar su disciplina, pero necesitar utilizar ese conocimiento en un entorno internacional.
Son necesidades relacionadas, pero no idénticas.
Por eso el punto de partida no debe ser un paquete predeterminado, sino la identificación de la tarea educativa real.
Levitin Language School — escuela internacional y ecosistema educativo
https://levitintymur.com
Language Learnings — proyecto para Estados Unidos
https://languagelearnings.com
Proyectos educativos e interdisciplinarios de Tymur Levitin
https://timurlevitin.blogspot.com
Contacto con Levitin Language School
WhatsApp / Viber: +380932913429
Telegram: @START_SCHOOL_TYMUR_LEVITIN
Correo electrónico: notification@levitintymur.com
Tymur Levitin
Fundador y director de Levitin Language School
Idiomas · Asignaturas escolares y académicas · Idioma + asignatura
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